Rizik od propasti
Verovatnoća da izgubite ceo bankrol pre nego što stignete do cilja.
Za proste šanse rizik od propasti sledi formulu propasti kockara. Sa bankrolom (novcem odvojenim za igru) od $500, opkladama od $10 i ciljem od $600, do cilja stižete u oko 57% slučajeva, a u ostalima ostajete bez novca.
Pitanje
Imate a jedinicanovacJedinicaOsnovni ulog u kojem računa sistem ili igrač. Progresije se opisuju u jedinicama da bi važile za svakim stolom.Pročitaj ceo tekst → bankrolanovacBankrolUkupan iznos odvojen za igru. Upravljanje bankrolom znači odlučiti koliki njegov deo rizikujete po opkladi i po sesiji.Pročitaj ceo tekst → i želite da stignete do a + b jedinica, ulažući po jednu jedinicu na prostu šansuopkladaProsta šansaCrveno/crno, neparno/parno, visoko/nisko. 18 brojeva, isplaćuje 1:1.Pročitaj ceo tekst → sa verovatnoćommatematikaVerovatnoćaKoliko je neki ishod moguć, od 0 do 1 ili od 0% do 100%. Jedan broj: 1/37 = 2,70%.Pročitaj ceo tekst → dobitka p = 18/37 i verovatnoćom gubitka q = 19/37. Kolika je verovatnoća da stignete do cilja pre nego što stignete do nule? Odgovor su izračunali Pascal, Fermat i Huygens pedesetih godina 17. veka, i to je jedan od najstarijih rezultata teorije verovatnoće.
Formula propasti kockara
P(dostizanje cilja) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Rizik od propastimatematikaRizik od propastiVerovatnoća da se izgubi ceo bankrol pre nego što se dostigne cilj ili zadati broj spinova.Pročitaj ceo tekst → je jedan minus to. Sa q/p = 19/18 ≈ 1,0556 taj odnos raste eksponencijalno sa brojem jedinica, pa formula surovo kažnjava male jedinice: što više opklada treba do cilja, to se više puta usput plati taksa od 2,70%.
Kako to čitati
Manje jedinice škode. Pokušaj da se $500 udvostruči opkladama od $10 uspeva u 6% slučajeva; jednom opkladom od $500 uspeva u 48,6% slučajeva. Smela igra, manje opklada a veće, maksimizuje verovatnoću dostizanja cilja u igri sa negativnim očekivanjem, jer minimizuje broj puta kada se prednost primeni. Ona takođe maksimizuje varijansumatematikaVarijansaMera toga koliko se široko rezultati rasipaju oko očekivane vrednosti. Visoka za jedan broj, niska za proste šanse.Pročitaj ceo tekst → onoga što vam se dešava i brzo završava veče. Teorema se zove „smela igra je optimalna“, a dokazali su je Dubins i Savage 1965. godine.
Gde je problem počeo
Pitanje je starije od ruleta. Godine 1656. Pascal je Fermatu postavio zagonetku: dva igrača bacaju tri kockice i svaki počinje sa 12 žetona; zbir 11 pomera jedan žeton u jednom smeru, a zbir 14 u drugom. Obojica su je rešila, a Huygens, koji je za nju čuo iz pisma matematičara Pierrea de Carcavija, objavio ju je 1657. kao peti zadatak prve knjige o verovatnoći, sa odgovorom i bez dokaza. Zbir jedanaest može da se baci na 27 načina, a četrnaest samo na 15, pa se svaki žeton pomera u korist prvog igrača 9 puta od 14, a formula iznad, sa po 12 žetona, čini ga oko 1.157 puta verovatnijim da dobije sve nego da izgubi sve. Prednost od 2,70% je daleko manja, ali ista formula pokazuje šta ona čini tokom mnogo opklada.
Prava smela opklada
U aprilu 2004. Ashley Revell, mladi Englez, prodao je skoro sve što je imao, uključujući odeću, i odneo $135.300 u kazino Plaza u Las Vegasu. Posle nekoliko malih opklada uložio je ceo iznos na crvenoopkladaCrvenoProsta šansa na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitaj ceo tekst →, jednom. KuglicaopremaKuglicaMala kugla koja se ubacuje u stazu suprotno od smera rotora. Savremene kuglice su od ajvorina ili teflona, 18–21 mm.Pročitaj ceo tekst → je pala na crveni 7 i on je izašao sa $270.600. Na točku sa dve nuletočakNulaJedini zeleni džep koji ne pokriva nijedna prosta šansa ni opklada na tuce ili kolonu; izvor prednosti kuće. Takođe: jedna nula, 0.Pročitaj ceo tekst → taj jedan spin imao je verovatnoću od 47,37% i koštao ga je u proseku $7.121, što je prednost od 5,26% na jednu opkladu. Raspoređen na opklade od $10, isti cilj bio bi gotovo beznadežan. Smela igra ne čini opkladu dobrom; čini je što kraćom.
Rizik od propasti bez cilja
Ako jednostavno igrate dok ne ostanete bez novca ili stanete posle N spinova, pitanje postaje „kolika je verovatnoća da moj bankrol dotakne nulu u okviru N spinova?“. Za opšte N nema zatvorenog oblika, ali simulatori na ovom sajtu to računaju: bankrol od $500 uz $10 na crveno gotovo nikada ne propadne za 100 spinova (manje od 1%), propadne u oko 9% slučajeva za 500 spinova i u oko 95% za 5.000. Bez pravila zaustavljanja verovatnoća teži ka 100%, što je dugoročna verzija prednosti kućematematikaPrednost kućeDeo svakog uloga koji kazino u proseku zadržava: 2,70% u evropskom ruletu.Pročitaj ceo tekst →.
- p10 −$500
- p25 −$500
- medijana −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Koliko dugo i koliko u plusu
Još dva klasična rezultata odgovaraju na pitanja koja igrači zaista postavljaju. Bez cilja, opklade stalnim ulogom na proste šanse traju u proseku 37 spinova po jedinici bankrola na evropskom točku i 19 na američkom, jer svaki spin u proseku uzme 1/37 jedinice (1/19 na američkom točku): 100 jedinica traje u proseku 3.700 spinova, iako se polovina takvih sesija završi u okviru 3.134 (pogledajte stranicu Trajanje i cena sesije). I koliko god bankrol bio velik, verovatnoća da na evropskom točku ikada budete k jedinica u plusu je (18/19)ᵏ. To je 95% za jednu jedinicu i 58% za deset, ali nijedan bankrol, koliko god dubok, ne daje izglede pola-pola da ikada budete 13 jedinica u plusu; na američkom točku verovatnoća je (9/10)ᵏ i pada ispod polovine na 7 jedinica.
Bankrol za izglede pola-pola
Okrenite pitanje: koliko morate da donesete da biste imali bar izglede pola-pola da dobijete određeni iznos pre nego što izgubite sve? Za mali dobitak, ne mnogo. Za veći potreban bankrol strmo raste, a posle neke tačke nijedan bankrol nije dovoljan, jer čak i beskonačan daje manje od izgleda pola-pola da ikada budete toliko u plusu. Taylor (2021) to kaže drugačije: na američkom točku, da biste imali izglede pola-pola da stignete do 100 jedinica, morate da počnete sa 94, rizikujući 94 da biste dobili 6. Na evropskom točku bilo bi vam potrebno 88.
Praktična pouka
Odlučite šta pokušavate da postignete. Ako je cilj određeni dobitak, ulažite krupno i malo puta. Ako je cilj dugo veče, ulažite sitno i prihvatite da će prednost uzeti svojih 2,70% od velikog prometanovacPrometUkupno uloženi iznos tokom sesije ili perioda, računajući i ponovo uložene dobitke. Takođe: handle, action.Pročitaj ceo tekst →. Ako je cilj oboje, nešto mora da popusti, a to je obično cilj.
Formula
Pitanja
Sistem MartingalestrategijaMartingaleProgresija koja udvostručuje opkladu posle svakog gubitka. U odeljku Strategija pogledajte šta ona čini, a šta ne.Pročitaj ceo tekst → ga smanjuje za kratke sesije i drastično povećava za duge. Stalni ulog (flat betting)strategijaStalni ulogUlaganje istog iznosa u svakom spinu. Osnova sa kojom se poredi svaka progresija.Pročitaj ceo tekst → sa većom jedinicom je pošten način da se on smanji.
Formula iznad važi za proste šanse. Kod opklada sa velikom varijansom propast je verovatnija pri malim ulozima, a do cilja se stiže neravnomernije; koristite kalkulator.
Svaki korak ka cilju malo je manje verovatan od svakog koraka ka propasti; odnos se umnožava kroz broj koraka.
Matematika iz zabave
Prvo pokušajte sami. Svako rešenje je sklopljeno; otvorite ga kada budete spremni.
Imate $100 i želite $1.000, a ulažete samo na crvenoopkladaCrvenoProsta šansa na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitaj ceo tekst →. Prvi plan: ulažete po $1. Drugi plan: ulažete sve što imate dok ne pređete $500, a zatim tačno onoliko koliko treba da dođete do $1.000. Koji je plan bolji i za koliko?
Prikaži rešenje
Odgovor Drugi plan, ubedljivo. On dolazi do $1.000 u oko 9,0% slučajeva, blizu pravednih 10%. Prvi plan uspeva otprilike 7 puta u 10²².
U pravednoj igrimatematikaPravedna igraIgra u kojoj nijedna strana nema prednost: svaka opklada ima očekivanu vrednost nula.Pročitaj ceo tekst → došli biste od $100 do $1.000 jednom u deset slučajeva šta god radili, jer prosečna vrednost vašeg novca ostaje $100.
Prednost kuće uzima 2,70% svake opklade, pa što manje ukupno uložite, to ste bliže jednom od deset. Drugi plan rešava stvar u nekoliko opklada: $100 postaje $200, $400, $800, a zatim je dovoljno $200. Uspeva u oko 9,0% slučajeva. Prvi plan traje hiljadama opklada pre nego što se šetnja završi, a prednost kuće, mala na svakoj od njih, sabira se u gotovo sigurnu propast.
To je rezultat Dubins–Savage u najjednostavnijem obliku (Epstein, 2013): u igri koja ide u korist kuće uložite onoliko koliko vam treba, što manje puta.
Imate $500 i želite $1.000, a prestajete čim ih imate. Birate jednu vrstu opklade i ponavljate je dok jednom ne dobije ili dok novac ne nestane. Koja vrsta daje najveću verovatnoću?
Prikaži rešenje
Odgovor Jedna opklada od $500 na crveno: 48,6%. Svaki plan koji novac raspoređuje na manje opklade prolazi lošije.
Izaberite svaki ulog tako da je jedan dobitak dovoljan: $30 na jedan brojopkladaJedan brojJedan jedini broj, isplaćuje 35:1.Pročitaj ceo tekst → donosi $1.050, $60 na splitopkladaSplitDva susedna broja, isplaćuje 17:1.Pročitaj ceo tekst → donosi $1.020 i tako dalje. Zatim izračunajte verovatnoću da bar jedna opklada dobije pre nego što novac nestane. Šesnaest opklada od $30 na jedan broj promaše sve sa verovatnoćom (36/37)¹⁶ = 64,5%, pa do $1.000 dolaze u 35,5% slučajeva.
Tabela prikazuje svaku opkladu. Crveno prolazi najbolje jer stiže do cilja jednom opkladom, pa se prednost kuće plaća jednom, na $500. Dupla ulicaopkladaDupla ulicaŠest brojeva u dva susedna reda, isplaćuje 5:1. Francuski: sixain.Pročitaj ceo tekst → je druga jer su joj potrebne samo tri. Jedna opklada na tuceopkladaTuce1–12, 13–24 ili 25–36, isplaćuje 2:1.Pročitaj ceo tekst → je najgora, sa verovatnoćom 12/37; čak i kada se igra u jedinicamanovacJedinicaOsnovni ulog u kojem računa sistem ili igrač. Progresije se opisuju u jedinicama da bi važile za svakim stolom.Pročitaj ceo tekst → od $250 dok ne imate $1.000 ili više, tuce stiže do cilja samo u 46,4% slučajeva.
Bollman (2024) pravi istu tabelu za američki točak. U njegovom redu za tuce potkrala se greška: treba da piše 12/38 = 31,6%.
opkladaulog × broj opkladaverovatnoća da se dođe do $1.000Jedan broj$30 × 1635,5%Split$60 × 835,9%Ulica$90 × 534,5%Ugao$125 × 436,7%Dupla ulica$166, $166, $16841,2%Tuce$500 × 132,4%Crveno$500 × 148,6%Ulažete jednu jedinicu na crveno, spin za spinom, sa bankrolomnovacBankrolUkupan iznos odvojen za igru. Upravljanje bankrolom znači odlučiti koliki njegov deo rizikujete po opkladi i po sesiji.Pročitaj ceo tekst → koji nikad ne nestaje. Posle prvog spina ste jednu jedinicu u plusu ili u minusu. Kolika je verovatnoća da ćete ikada ponovo biti tačno na početnom stanju?
Prikaži rešenje
Odgovor 36 od 37, 97,3%. Na američkom točku to je 36 od 38, 94,7%.
Ako prvi spin dobije (18 puta od 37), jednu jedinicu ste u plusu, a prednost kuće vuče naniže svaku beskonačnu sesiju, pa ćete pre ili kasnije ponovo proći kroz početno stanje: to je sigurno. Ako izgubi (19 puta od 37), morate da se popnete za jednu jedinicu, a verovatnoća da ćete ikada biti jednu jedinicu u plusu je 18/19 (pogledajte tabelu iznad).
Zajedno: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Uopšteno, verovatnoća je 1 minus razlika između verovatnoće da se spin dobije i da se izgubi: 1 − 1/37 na evropskom točku, 1 − 2/38 na američkom. U igri bez nuletočakNulaJedini zeleni džep koji ne pokriva nijedna prosta šansa ni opklada na tuce ili kolonu; izvor prednosti kuće. Takođe: jedna nula, 0.Pročitaj ceo tekst → razlika je nula, a verovatnoća 1: rezultat se uvek vraća na početno stanje. Epstein (2013) daje opšte pravilo.
Pascalov zadatak iz 1656: dva igrača bacaju tri kocke, a svaki počinje sa 12 žetona. Svaki zbir 11 prebacuje jedan žeton prvom igraču, svaki zbir 14 jedan drugom; ostala bacanja se ne računaju. Kolika je verovatnoća da prvi igrač osvoji sva 24? A ako umesto toga ulažete po 1 jedinicu na crveno u svakom spinu protiv prijatelja koji drži banku, sa po 12 jedinica, kolika je verovatnoća da ćete osvojiti sve 24?
Prikaži rešenje
Odgovor Prvi igrač pobeđuje oko 1.157 puta od 1.158. Vi, na crvenom, osvajate sve 24 jedinice samo u oko 34% slučajeva.
Tri kocke daju 11 na 27 načina, a 14 na 15 načina, pa svaki žeton koji se pomeri ide prvom igraču 27 puta od 42, odnosno 9 puta od 14. Kada svaka strana počinje sa 12, verovatnoća da se uzme sve je 1/(1 + r¹²), gde je r odnos verovatnoće druge strane i vaše.
Za prvog igrača r = 5/9, a (5/9)¹² ≈ 0,00086, pa je verovatnoća oko 0,99914: izgledi 9¹² prema 5¹², odnosno 282.429.536.481 prema 244.140.625, oko 1.157 prema 1. Huygens je objavio upravo te brojeve 1657. godine.
Na crvenom je r = 19/18 zbog nule, a (19/18)¹² ≈ 1,913: vaša verovatnoća je 1/2,913 ≈ 34,3%. Novčić bi dao 50%. Prednost kuće od 2,70% na svakoj opkladi sabira se, kroz mnoštvo opklada koje su potrebne, u razliku od 16 procentnih poena.
Za predah
Smela igra je optimalna. I brzo se završi.
Izvori
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Pismo Huygensu, 28. septembra 1656, o problemu koji je Pascal postavio Fermatu.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”