Zadatak: rođendanski točak
Koliko spinova treba pre nego što se neki broj ponovi? Mnogo manje nego što većina ljudi pretpostavlja.
Problem rođendana na točku sa 37 džepovaopremaDžepJedno od 37 numerisanih udubljenja na rotoru. Takođe: pregradak, čašica.Pročitaj ceo tekst →: već posle 8 spinova verovatnoća da se neki broj pojavio dva puta veća je od jedne polovine. Igrači ponavljanja čitaju kao obrasce; ona su očekivano ponašanje ispravnog točka.
Zadatak
Vrtite ispravan evropski točak. Posle koliko spinova verovatnoćamatematikaVerovatnoćaKoliko je neki ishod moguć, od 0 do 1 ili od 0% do 100%. Jedan broj: 1/37 = 2,70%.Pročitaj ceo tekst → da su bar dva spina dala isti broj prelazi jednu polovinu? Većina igrača pogađa negde oko 18 ili 19, polovinu od 37. Odgovor je 8.
Rešenje
Izračunajte verovatnoću da nema ponavljanja i oduzmite je od jedinice. Posle k spinova p(svi različiti) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Za k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, pa je p(neko ponavljanje) ≈ 0,56. Za k = 14 iznosi 0,93; za k = 20 iznosi 0,996. Intuicija zakazuje jer broj parova spinova raste kao k², a svaki par može da se poklopi.
Zašto je to važno za stolom
Ekran sa rezultatima sa poslednjih 20 brojeva skoro uvek pokazuje bar jedno ponavljanje, često dva ili tri. Igrači vide „17 je palo dva puta u deset spinova“ i zaključuju da je 17 vruć broj; račun rođendana kaže da se ponavljanje u roku od deset spinova dešava u 74% slučajeva i da je broj koji se ponovio slučajan. Obrazac je stvaran; značenje nije.
Nastavak zadatka
Koliko spinova treba dok se određeni broj, recimo 17, ne pojavi dva puta? To je drugo pitanje, sa mnogo većim odgovorom: očekivano čekanje je 74 spina, a verovatnoća da 17 padne dva puta u 20 spinova iznosi oko 10%. Razlika između „neki broj se ponavlja“ (8 spinova) i „ovaj broj se ponavlja“ (74 spina) jeste cela razlika između obrasca koji primetite naknadno i predviđanja koje date unapred.
Isprobajte
Pokrenite Demo igru na deset spinova i pogledajte istoriju. Obično će biti jedno ponavljanje. Pokrenite je ponovo. Ponovljeni broj biće drugačiji. Uradite to deset puta i videli ste problem rođendanamatematikaProblem rođendanaKoliko je ljudi potrebno da dvoje verovatno ima isti rođendan, ili koliko spinova pre nego što se neki broj verovatno ponovi. Na točku sa 37 džepova 8 spinova je dovoljno za šansu bolju od jednake.Pročitaj ceo tekst →; uradite to hiljadu puta (simulatori to mogu) i izmerili ste ga.
Formula
Pitanja
Upravo to, sa 37 džepova umesto 365 dana. 23 osobe daju 50% za rođendane; 8 spinova daje 56% za točak.
50% posle oko 19 spinova. I dalje rutina.
Ne. Hiljade spinova sa jednog točka mogle bi da ukažu; jedno ponavljanje nikada.
Matematika iz zabave
Prvo pokušajte sami. Svako rešenje je sklopljeno; otvorite ga kada budete spremni.
Ekran sa rezultatima pored američkog točka pokazuje poslednjih 16 spinova. Koliko je verovatno da se nijedan broj na njemu ne pojavi dva puta?
Prikaži rešenje
Odgovor Oko 2,5%: otprilike 39 ekrana od 40 pokazuje bar jedno ponavljanje.
Idite spin po spin. Prvi spin može da bude bilo šta. Drugi mora da ga promaši: 37 od 38. Treći mora da promaši oba: 36 od 38. Šesnaesti mora da promaši petnaest brojeva: 23 od 38.
Pomnožite: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Ekran bez ponavljanja je onaj redak. Ekran sa ponavljanjem ne govori ništa o točku.
Kolika je verovatnoća da u deset spinova evropskog točka 17 padne tačno pet puta? Da neki broj, bilo koji, padne pet ili više puta? I da neki broj padne bar tri puta u četiri spina?
Prikaži rešenje
Odgovor 17 tačno pet puta: 1 od 315.576. Neki broj pet ili više puta: oko 1 od 8.333. Neki broj tri ili više puta u četiri spina: 1 od 349.
17 pet puta: izaberite kojih pet od deset spinova, 252 načina, svaki sa verovatnoćom (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Zajedno, 1 od 315.576.
Neki broj: svaki od 37 brojeva ima verovatnoću 1 od 308.325 da padne pet ili više puta, što daje 37 od 308.325, odnosno 1 od 8.333. Redak slučaj dva broja sa po pet pogodaka računa se dvaput, ali njegovo oduzimanje ne menja ništa na ovoj preciznosti.
Tri puta u četiri spina: za jedan broj, 4 × 36 + 1 = 145 od 37⁴ mogućih ishoda; za bilo koji od 37 brojeva, 145/37³ = 1 od 349.
Wizard of Odds je odgovorio na verzije ovih pitanja za točak sa dve nuletočakNulaJedini zeleni džep koji ne pokriva nijedna prosta šansa ni opklada na tuce ili kolonu; izvor prednosti kuće. Takođe: jedna nula, 0.Pročitaj ceo tekst →; naši brojevi za taj točak su 1 od 359.275, 1 od 9.243 i 1 od 368. Razlika između „17“ i „nekog broja“ je ponovo problem rođendanamatematikaProblem rođendanaKoliko je ljudi potrebno da dvoje verovatno ima isti rođendan, ili koliko spinova pre nego što se neki broj verovatno ponovi. Na točku sa 37 džepova 8 spinova je dovoljno za šansu bolju od jednake.Pročitaj ceo tekst →: postoji 37 načina da se iznenadite.
Za predah
Nešto se rano ponovi. To nešto je slučajno.
Izvori
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. „Ask the Wizard“, pitanja o ruletu.