Verovatnoća nizova u ruletu
Dugi nizovi jedne boje su česti. Za sledeći spin takođe ne znače ništa.
Pet crvenih zaredom: 2,7%. Deset: 0,074%. Tokom sesije od 200 spinova niz od šest iste boje češće se pojavi nego što izostane.
Koliko često dolazi niz gubitaka
Opklada na prostu šansu na točku sa jednom nulom gubi u 19 spinova od 37. Svaki red pokazuje verovatnoću da svi spinovi jednog datog niza budu izgubljeni i koliko je do tada izgubio igrač sistema Martingale, koji udvostručuje ulog posle svakog gubitka.
| gubitaka zaredom | verovatnoća | otprilike 1 od | izgubljeno do sada | sledeći ulog |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1.023 | $1.024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2.047 | $2.048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4.095 | $4.096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8.191 | $8.192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16.383 | $16.384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32.767 | $32.768 |
Verovatnoća je 19/37 pomnoženo samo sobom jednom za svaki gubitak, računato od jednog datog spina. Duga sesija ima mnogo spinova od kojih takav niz može da počne, pa je tokom jedne večeri on mnogo verovatniji nego što pokazuje jedan red.
Jedan niz
VerovatnoćamatematikaVerovatnoćaKoliko je neki ishod moguć, od 0 do 1 ili od 0% do 100%. Jedan broj: 1/37 = 2,70%.Pročitaj ceo tekst → da sledećih k spinova budu svi crveniopkladaCrvenoProsta šansa na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitaj ceo tekst → je (18/37)ᵏ. Dva: 23,7%. Pet: 2,7%. Deset: 0,074%, otprilike 1 od 1.350. Dvadeset: 1 od 1,8 miliona. Dvadeset šest, rekord iz Monte Karla: 1 od 137 miliona. To su verovatnoće određenog niza koji počinje od određenog spina, a to je pitanje koje skoro niko zapravo ne postavlja.
U sesiji
Pitanje koje ljudi zapravo postavljaju glasi „da li će se niz od k pojaviti negde u mojoj sesiji?“, a odgovor je daleko veći od (18/37)ᵏ, jer sesija od 200 spinova nudi skoro 200 mesta na kojima niz može da počne. Niz od šest ili više iste boje, crvene ili crneopkladaCrnoProsta šansa na 18 crnih brojeva. Francuski: noir.Pročitaj ceo tekst →, pojavi se u sesiji od 200 spinova u oko 94% slučajeva; od osam ili više u oko 47%; od deset ili više u oko 14%. Ako boju odredite unapred, verovatnoće padaju, na oko 75%, 27% i 7%. Igrač koji provede veče za stolom videće duge nizove svako veče.
Zašto je to važno za sistem Martingale
Svaka negativna progresijastrategijaProgresijaSvako pravilo koje menja ulog na osnovu prethodnih rezultata. Negativne progresije ga povećavaju posle gubitaka, pozitivne posle dobitaka.Pročitaj ceo tekst → ima dužinu niza koja je lomi: šest gubitaka od osnovnog uloga $10 uz limit od $500, deset za sistem FibonaccistrategijaFibonacciProgresija koja prati niz 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: jedan korak napred posle gubitka, dva koraka nazad posle dobitka.Pročitaj ceo tekst →, pet za utrostručavanje na tucetimaopkladaTuce1–12, 13–24 ili 25–36, isplaćuje 2:1.Pročitaj ceo tekst →. Verovatnoća niza od šest gubitaka na prostoj šansi je (19/37)⁶ ≈ 1,8% po pokušaju, a sesija od 200 spinova sadrži možda 100 pokušaja, pa lom dolazi u otprilike četiri od pet sesija te dužine. Verovatnoće nizova su razlog zašto ta litica nije retka.
Vrući i hladni brojevi
Ista računica važi za opklade na jedan broj (straight up)opkladaJedan brojJedan jedini broj, isplaćuje 35:1.Pročitaj ceo tekst →. U 300 spinova očekivani broj pogodaka po broju je 8,1; standardna devijacijamatematikaStandardna devijacijaKvadratni koren varijanse; tipična udaljenost rezultata od očekivane vrednosti.Pročitaj ceo tekst → je oko 2,8. Neki broj će imati 15 pogodaka, a neki 2, samo slučajno, svaki put. Ekran sa rezultatima koji ističe „vruće“ brojeve ističe vrh normalne raspodele. Laboratorija objašnjava koliko spinova treba pre nego što vruć brojmitVruć brojBroj koji se u poslednje vreme pojavio češće od očekivanog. Na ispravnom točku ne predviđa ništa.Pročitaj ceo tekst → išta znači (hiljade, sa jednog određenog točka).
Nezavisnost je cela poenta
Niz od deset crvenih ne čini crno verovatnijim, a ne čini verovatnijim ni crveno. Oba su 18/37. Nizovi su svojstvo slučajnih sekvenci i bili bi sumnjivi kada bi izostali: sekvenca od 200 spinova bez ijednog niza dužeg od četiri bila bi mnogo jači dokaz nameštanja od sekvence sa nizom od dvanaest.
Formula
Pitanja
Čuven je niz od 26 crnih u Monte Karlu 18. avgusta 1913. U jednom američkom kazinu 1943. zabeležena su 32 crvena zaredom. Oba su u skladu sa slučajnošću, kada se uzme u obzir koliko spinova kazina odigraju.
U oba slučaja je 18/37. Uložite ono što vam plan kaže, ili ništa.
Ne. Pristrasnost se vidi kao češći pogoci nekih džepovaopremaDžepJedno od 37 numerisanih udubljenja na rotoru. Takođe: pregradak, čašica.Pročitaj ceo tekst → tokom hiljada spinova, a ne kao nizovi jedne boje.
Matematika iz zabave
Prvo pokušajte sami. Svako rešenje je sklopljeno; otvorite ga kada budete spremni.
Koliko je spinova evropskog točka potrebno, u proseku, dok svaki od 37 brojeva ne padne bar jednom?
Prikaži rešenje
Odgovor U proseku oko 155 spinova; medijana je 147.
Računajte čekanje novi broj po novi broj. Prvi spin uvek pokazuje novi broj. Kada ste videli 1 broj, novih je 36 džepovaopremaDžepJedno od 37 numerisanih udubljenja na rotoru. Takođe: pregradak, čašica.Pročitaj ceo tekst → od 37, pa sledeći novi broj u proseku traži 37/36 spinova. Kada ste videli k brojeva, traži 37/(37 − k).
Saberite čekanja: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 spinova.
Većina toga otpada na kraj. Samo poslednji broj u proseku traži 37 spinova, a poslednjih pet oko 85. Na američkom točku isti zbir daje oko 161. To je problem sakupljača kupona; Wizard of Odds daje isti prosek.
U 37 spinova evropskog točka, po jedan spin za svaki džep, koliko različitih brojeva treba da očekujete?
Prikaži rešenje
Odgovor Oko 23,6. Otprilike trećina brojeva, oko 13, uopšte ne padne.
Uzmite jedan broj, recimo 17. U svakom spinu on ne padne sa verovatnoćom 36/37, pa promaši svih 37 spinova sa verovatnoćom (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Svaki broj ima istu verovatnoću, pa u proseku izostane 37 × 0,363 ≈ 13,4 brojeva, a padne 37 − 13,4 ≈ 23,6, mnogi od njih dva puta ili više.
Igrači ruleta ovo zovu zakonom trećina. To nije nikakav zakon, već samo aritmetika ponavljanja: u nizu dugom koliko i točak oko trećine brojeva izostane, na ispravnom točku kao i na svakom drugom. Na 38 džepova udeo je takođe (37/38)³⁸ ≈ 0,363; za veliki točak ustaljuje se blizu 1/e ≈ 0,368.
Prijatelj vam pokazuje dva spiska od po 50 boja, crvenoopkladaCrvenoProsta šansa na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitaj ceo tekst → ili crnoopkladaCrnoProsta šansa na 18 crnih brojeva. Francuski: noir.Pročitaj ceo tekst →, za koje tvrdi da potiču sa točka na kojem su nuletočakNulaJedini zeleni džep koji ne pokriva nijedna prosta šansa ni opklada na tuce ili kolonu; izvor prednosti kuće. Takođe: jedna nula, 0.Pročitaj ceo tekst → izostavljene. Na jednom se boja menja 25 puta, a najduži niz je šest. Na drugom se menja 35 puta i nijedan niz nije duži od tri. Koji je izmišljen?
Prikaži rešenje
Odgovor Drugi. Na pravom spisku boja se menja oko 24 ili 25 puta. Spisak sa 35 promena javlja se otprilike jednom u 500 spiskova, a spisak bez niza dužeg od tri oko dva puta u 100.
Svaka nova boja ili ponavlja prethodnu ili se menja, pola-pola, pa 49 prilika za promenu daje u proseku 24,5 promena, plus-minus oko 3,5. Trideset pet je tri takva koraka iznad proseka; ispravan točak daje toliko promena otprilike jednom u 500 spiskova.
Nizovi govore isto. Pravi spisak od 50 ima niz od četiri ili više u oko 98% slučajeva, a najduži niz mu je najčešće pet ili šest.
Ljudi od kojih se traži da izmisle slučajan spisak prečesto menjaju boju, jer im niz od četiri ili pet izgleda kao obrazac. Taylor (2021) pokazuje isti znak u spiskovima bacanja novčića koje su izmislili studenti: prava slučajnost ima više nizova nego što ljudi očekuju.
Jedna knjiga priča iz kazina pominje igrača čiji je broj pao pet puta zaredom i naziva to rekordom. Koliko je to retko na evropskom točku? I koliko često bi trebalo da se desi negde u jednom kazinu sa 20 stolova, od kojih se za svakim zavrti 40 puta na sat, danju i noću?
Prikaži rešenje
Odgovor Unapred određen broj pet puta zaredom: 1 od 69 miliona. Bilo koji broj koji posle prvog pojavljivanja padne još četiri puta: 1 od 1,87 miliona. Taj kazino ima oko 7 miliona spinova godišnje, pa bi trebalo da vidi niz od pet tri ili četiri puta godišnje.
Unapred određen broj pada sa verovatnoćom 1/37 u svakom spinu, pa pet zaredom ima verovatnoću (1/37)⁵ = 1 od 69.343.957. Ali niko ne određuje broj unapred. Šta god padne prvo, sledeća četiri spina moraju to da ponove: (1/37)⁴ = 1 od 1.874.161.
20 stolova × 40 spinova × 24 sata × 365 dana = 7.008.000 spinova godišnje. Svaki spin može da započne niz, pa kazino očekuje 7.008.000/1.874.161 ≈ 3,7 nizova od pet godišnje.
Ne postoji zvanični rekord ove vrste, a nije ni potreban: retkost za jednim stolom rutina je u celom kazinu, a priče se pričaju o stolu za kojim se to desilo. Priča (Goldman, 2007) odvija se na točku sa dve nule, gde su brojke 1 od 79 miliona i 1 od 2,09 miliona.
Za predah
Ovako izgleda slučajnost: dugi nizovi.
Izvori
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.