Matematika ruleta · Zadatak · 10 min

Zadatak: limit stola

Sistem Martingale sa osnovnim ulogom od $10 za stolom sa limitom od $500. Koliko često puca, koliko gubi kada pukne i da li viši limit pomaže?

Kratak odgovor

Šest uzastopnih gubitaka ga lomi: 1,8% po ciklusu, oko 60% sesija od 100 spinova. Lom košta $630. Podizanje limita na $5.000 čini lom ređim (0,25% po ciklusu) i većim ($5.110). Očekivani gubitak po uloženom dolaru je 2,70% pri svakom limitu.

osnovni ulog / limit

$10 / $500

gubici do loma

p(lom) po ciklusu

1,8%

gubitak pri lomu

$630

Zadatak

Igrač ulaže $10 na crvenoopkladaCrvenoProsta šansa na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitaj ceo tekst → i duplira ulog posle svakog gubitka, a posle dobitka se vraća na početni ulog. Maksimum stola je $500. (a) Koliko uzastopnih gubitaka lomi progresijustrategijaProgresijaSvako pravilo koje menja ulog na osnovu prethodnih rezultata. Negativne progresije ga povećavaju posle gubitaka, pozitivne posle dobitaka.Pročitaj ceo tekst →? (b) Kolika je verovatnoćamatematikaVerovatnoćaKoliko je neki ishod moguć, od 0 do 1 ili od 0% do 100%. Jedan broj: 1/37 = 2,70%.Pročitaj ceo tekst → toga po ciklusu? (c) Šta se gubi pri lomu? (d) Kako limit od $5.000 menja odgovore? (e) Da li ijedan limit čini sistem profitabilnim?

Limiti stola za rulet

Rešenja (a)–(c)

Ulozi: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Sedmi bi bio 640 > 500, pa ga šest gubitaka lomi. (b) p(gubitak) = 19/37 na crveno; (19/37)⁶ = 0,0183, oko 1,8% po ciklusu. Ciklus traje u proseku oko dva spina, pa sesija od 100 spinova ima otprilike 50 ciklusa i p(bar jedan lom) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, što je 63 osnovne jedinicenovacJedinicaOsnovni ulog u kojem računa sistem ili igrač. Progresije se opisuju u jedinicama da bi važile za svakim stolom.Pročitaj ceo tekst →, naspram $10 koje je ciklus pokušavao da dobije.

limitgubici do lomap(lom) po ciklusugubitak pri lomup(lom u 100 spinova)dobici potrebni za nadoknadu

$100313,5%$70≈ 100%7

$50061,8%$630≈ 60%63

$1.00061,8%$630≈ 60%63

$2.00070,94%$1.270≈ 36%127

$5.00090,25%$5.110≈ 11%511

$20.000110,07%$20.470≈ 3%2.047

Svako udvostručenje plafona čini lom otprilike upola manje verovatnim i dvostruko skupljim. Proizvod se ne menja.

Rešenje (d)

Uz $5.000: dozvoljeni su ulozi do 2.560; deseti ulog, 5.120, odbija se. Devet gubitaka ga lomi: (19/37)⁹ ≈ 0,25% po ciklusu, oko 11% sesija od 100 spinova. Gubitak pri lomu: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. Igrač je kupio ređu katastrofu po ceni veće. Tokom mnogo sesija očekivani trošak lomova je p × gubitak ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 po ciklusu pri limitu od $500 i 0,0025 × 5.110 = $12,8 pri $5.000; to je, u granicama zaokruživanja, isti broj, i to je očekivani gubitakmatematikaOčekivani gubitakOčekivana vrednost pomnožena ukupno uloženim iznosom; prosečan iznos izgubljen tokom sesije ili perioda.Pročitaj ceo tekst → ciklusa umanjen za $10 koje donose dobitni ciklusi.

Rešenje (e)

Ne. Očekivani gubitak po ciklusu = (očekivani ukupni ulog u ciklusu) / 37, pri bilo kom limitu, jer je svaka opklada −1/37 sopstvenog iznosa. Limit samo određuje kako se gubitak raspoređuje između mnogo malih dobitaka i malo velikih gubitaka. Bez limita i sa beskonačnim bankrolomnovacBankrolUkupan iznos odvojen za igru. Upravljanje bankrolom znači odlučiti koliki njegov deo rizikujete po opkladi i po sesiji.Pročitaj ceo tekst → progresija bi „funkcionisala“, u smislu da nikada ne bi pukla, ali bi takođe uložila neograničen iznos, sa očekivanim gubitkom od 2,70% tog neograničenog iznosa. Nije limit stolastoLimit stolaNajmanja i najveća dozvoljena opklada. Maksimum je ono što zaustavlja progresije sa udvostručavanjem.Pročitaj ceo tekst → ono što sprečava sistem MartingalestrategijaMartingaleProgresija koja udvostručuje opkladu posle svakog gubitka. U odeljku Strategija pogledajte šta ona čini, a šta ne.Pročitaj ceo tekst → da funkcioniše. Sprečava ga aritmetika.

Sistem Martingale sa osnovom od $10, 100 spinova: prosečan rezultat prema limitu (simulacija)$

limit $500

≈ −$75

limit $1.000

≈ −$75

limit $2.000

≈ −$72

limit $5.000

≈ −$70

stalni ulog $10, bilo koji limit

$27

04080

Stubići pokazuju veličinu gubitka. Podizanje limita jedva pomera prosek; progresija ulaže oko $2.800 na 100 spinova, kakav god da je plafon.

Dva stvarna stola

Thorpov primer je sto od $1 sa maksimumom od $1.000, za kojim igrač želi da, dolar po dolar, dobije $30 za večeru. Ulozi 1, 2, 4 … 512 dozvoljavaju deset opklada, pa deset uzastopnih gubitaka lomi progresiju: jednom u 785 ciklusa na evropskom točku (jednom u 613 na američkom), uz trošak od $1.023. Svih trideset ciklusa uspe u 96,2% slučajeva. U preostalih 3,8% gubi se oko $1.000, a prosečan rezultat večeri je −$9,17, što je tačno 1/37 od $339 koje trideset ciklusa u proseku uloži. Sto od $5 sa maksimumom od $2.000 nije ništa drugačiji: ulozi do $1.280 dozvoljavaju devet opklada, a lom dolazi jednom u 403 ciklusa na evropskom točku (jednom u 323 na američkom) i košta $2.555.

Udvostručeni ulozi rastu ka maksimumu stola, dok večera čeka u susednoj sobi.

Bogat igrač

Dajte progresiji dubok bankrol umesto niskog limita: 1.000 jedinica, osnovni ulog od jedne jedinice i 1.000 spinova na crveno, uz povratak na jednu jedinicu kad god je sledeće dupliranje veće od onoga što je ostalo. Simulirali smo milion takvih večeri. Na evropskom točku 52% završi u plusu, 21% izgubi sve, a prosečan rezultat je −124 jedinice. Čak i u igri bez nuletočakNulaJedini zeleni džep koji ne pokriva nijedna prosta šansa ni opklada na tuce ili kolonu; izvor prednosti kuće. Takođe: jedna nula, 0.Pročitaj ceo tekst →, gde je svaka opklada pravedna, samo oko 60% bi završilo u plusu. Uobičajeno veče je mali dobitak; prosek plaćaju večeri koje se završe na nuli.

točakzavrši u plusuizgubi svih 1.000 jedinicaprosečan rezultat

bez nule (pravedna igra)60%15%0

evropski52%21%−124 jedinice

američki45%30%−250 jedinica

Naša simulacija, milion večeri po točku. Proseci iznose 1/37 i 1/19 onoga što progresija uloži u 1.000 spinova: oko 4.600 jedinica na evropskom točku i 4.750 na američkom.

Pouka

Kazina postavljaju limite da bi ograničila sopstvenu varijansumatematikaVarijansaMera toga koliko se široko rezultati rasipaju oko očekivane vrednosti. Visoka za jedan broj, niska za proste šanse.Pročitaj ceo tekst →, a ne da bi porazila sisteme. Poraz sistema Martingale je sporedni efekat koji im je drag, a aritmetika bi ga ionako porazila. Igrač koji misli da je limit problem pronašao je liticu i zamenio je za padinu.

Formula

p(lom) = (19/37)ᵏ, k = broj gubitaka koje limit dozvoljava

gubitak pri lomu = osnova · (2ᵏ − 1)

E[gubitak po ciklusu] = E[ulog u ciklusu] / 37

Pitanja

Da li bi veći bankrol to rešio?

Omogućava vam da preživite do višeg limita, gde je lom ređi i veći. Očekivani gubitak po dolaru je nepromenjen.

A „grand Martingale“, koji pri svakom dupliranju dodaje jednu jedinicu?

Ulozi 10, 30, 70, 150, 310: limit od $500 dostiže se posle pet gubitaka, a lom košta $570. Istih 2,70%.

Zašto kazina uopšte imaju maksimum?

Da jedan igrač ne bi mogao da uloži više nego što rezerve kazina mogu bez teškoća da isplate. Upravljanje varijansom.

Matematika iz zabave

Prvo pokušajte sami. Svako rešenje je sklopljeno; otvorite ga kada budete spremni.

Sistem MartingalestrategijaMartingaleProgresija koja udvostručuje opkladu posle svakog gubitka. U odeljku Strategija pogledajte šta ona čini, a šta ne.Pročitaj ceo tekst → počinje sa $100 na crvenoopkladaCrvenoProsta šansa na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitaj ceo tekst → i dopušta sebi najviše n opklada po ciklusu: posle n uzastopnih gubitaka odustaje i počinje ispočetka. Napišite prosečan rezultat jednog ciklusa kao formulu po n i izračunajte ga za 5, 6 i 7 opklada na evropskom točku.
Prikaži rešenje
Odgovor Prosek je 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 za 5 opklada, −$17,35 za 6 i −$20,52 za 7. Dozvoljavanje više opklada čini prosečan ciklus gorim, a ne boljim.
Ciklus dobija $100 osim ako svih n opklada izgubi, što se dešava sa verovatnoćom qⁿ, gde je q = 19/37. Kada sve izgube, ulozi 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ sabiraju se u 100 × (2ⁿ − 1). Dakle prosek je 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Ovde je 2q = 38/37, nešto više od 1, pa (2q)ⁿ raste sa n, a prosek opada: n = 5 daje 1,1426 i −$14,26; n = 6 daje 1,1735 i −$17,35; n = 7 daje 1,2052 i −$20,52. Duža lestvica ređe gubi, u 3,6%, 1,8% i 0,9% ciklusa, ali je svaki gubitak dvostruko veći, a preko stola u svakom ciklusu pređe više novca, uz 2,70% od svake opklade.
Na američkom točku 2q = 40/38, a brojke su −$29,24, −$36,04 i −$43,20 (Taylor, 2021). U igri bez nuletočakNulaJedini zeleni džep koji ne pokriva nijedna prosta šansa ni opklada na tuce ili kolonu; izvor prednosti kuće. Takođe: jedna nula, 0.Pročitaj ceo tekst → 2q = 1 i svaki ciklus u proseku daje tačno nulu, ma koliko lestvica bila duga.
„Veliki Martingale“ (grand Martingale) udvostručuje ulog posle gubitka i dodaje jednu jedinicunovacJedinicaOsnovni ulog u kojem računa sistem ili igrač. Progresije se opisuju u jedinicama da bi važile za svakim stolom.Pročitaj ceo tekst →, pa ulozi idu 1, 3, 7, 15, 31 … Koliko ste u plusu kada prvi dobitak dođe u 1., 2., 3. ili k-toj opkladi? Pri jedinici od $10 i maksimumu od $500, koliko često ciklus pukne i koliko ciklus u proseku košta?
Prikaži rešenje
Odgovor Dobitak u k-toj opkladi ostavlja vas k jedinica u plusu: +1, +2, +3 i tako dalje. Pri $10 i $500 ciklus puca posle pet gubitaka, u 3,57% ciklusa, za −$570. U proseku ciklus gubi $2,32 od $85,73 uloženih: 2,70%.
k-ti ulog je 2ᵏ − 1 jedinica: 1, 3, 7, 15, 31. Prvih k − 1 uloga sabira se u 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Dobitak u k-toj opkladi donosi 2ᵏ − 1, pa se ciklus završava (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k jedinica u plusu: jedna dodatna jedinica za svaki gubitak pre dobitka.
Pri $10 po jedinici ulozi su $10, $30, $70, $150 i $310; sledeći, $630, prelazi maksimum od $500. Pet uzastopnih gubitaka, (19/37)⁵ = 3,57%, košta 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Prosek: dobici donose $10 × k sa verovatnoćom (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 za k = 1 do 5, a pucanje odnosi $570 sa verovatnoćom 3,57%; zajedno −$2,32. Uloženi novac u proseku iznosi $85,73 po ciklusu, a 2,32/85,73 = 2,70%. Obični sistem Martingale za istim stolom puca posle šest gubitaka, u 1,83% ciklusa, za −$630, i gubi $1,74 od $64,20 uloženih: opet 2,70%.
Igrač planira sistem Martingale na crveno sa prvom opkladom od $1 za stolom čiji je limit $1.000, pa je moguće deset opklada: $1, $2, $4 i tako dalje do $512. Koliko često ciklus izgubi svih deset, koliko to u proseku traje i koliko često se veče od 200 opklada tako završi?
Prikaži rešenje
Odgovor Ciklus izgubi svih deset otprilike jednom u 784, što košta $1.023. To je u proseku oko 1.600 opklada, a veče od 200 opklada udari u zid u oko 11% slučajeva. Ciklus i dalje u proseku gubi $0,31 od $11,31 uloženih: 2,70%.
Opklada na crveno gubi sa verovatnoćom 19/37, uključujući nulu. Deset zaredom: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, oko 1 od 784. Ulozi 1 + 2 + 4 + … + 512 sabiraju se u $1.023.
Ciklus u proseku traje 2,05 opklada, pa 784 ciklusa traju oko 1.600 opklada. Računato spin po spin, niz od deset gubitaka pojavi se negde u 200 opklada u 11,3% slučajeva.
Između katastrofa igrač dobija $1 po ciklusu: oko $783 pre lošeg ciklusa, zatim −$1.023, oko −$240 za ceo period. Po ciklusu: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Uloženi novac po ciklusu: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. A −0,31/11,31 = −2,70%.
Uporedite prvu opkladu od $10 pri limitu od $500, šest opklada: zid dolazi jednom u 55 ciklusa, a veče od 200 opklada udari u njega u 84% slučajeva. Viši limit čini krah ređim i većim, a ne jeftinijim.

Za predah

Ređe i veće, pri svakom limitu. Proizvod je konstantan.

Izvori

Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling. Springer, 2010. Poglavlje 13, rulet.
Thorp, E. O. „Optimal gambling systems for favorable games.“ Review of the International Statistical Institute 37(3), 1969.
Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling. Gambling Times / Lyle Stuart, 1984.
Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed. Academic Press, 2013.

pregledano 2026-09-28model: evropski rulet, jedna nulametodologija ↗izvori ↗