Dugoročna konvergencija: zakon velikih brojeva u ruletu
Kako se prosek ustaljuje ka −2,70% i zašto to traje duže nego što intuicija nalaže.
Prosečan gubitak po spinu konvergira ka −1/37 kako se spinovi gomilaju, a rasipanje se smanjuje kao 1/√N. Posle 1.000 spinova na crveno prosek je obično u granicama ±3% od svog očekivanja.
Zakon velikih brojeva
Tekući prosek nezavisnih opklada teži očekivanoj vrednostimatematikaOčekivana vrednostProsečan rezultat po opkladi na duge staze. −1/37 uloga za svaku standardnu evropsku opkladu.Pročitaj ceo tekst →. Posle N spinova na prostu šansu sa ulogom od jedne jedinicenovacJedinicaOsnovni ulog u kojem računa sistem ili igrač. Progresije se opisuju u jedinicama da bi važile za svakim stolom.Pročitaj ceo tekst →, prosečan rezultat po spinu ima očekivanje −1/37 i standardnu devijacijumatematikaStandardna devijacijaKvadratni koren varijanse; tipična udaljenost rezultata od očekivane vrednosti.Pročitaj ceo tekst → 1/√N. Za N = 100 to rasipanje iznosi 10% uloga, skoro četiri puta više od signala od 2,7%. Za N = 1.000 iznosi 3,2%, otprilike koliko i signal. Za N = 10.000 iznosi 1%, i prednost se jasno vidi. Prednost je nevidljiva u jednoj sesiji, a nepogrešiva u toku jedne godine.
Šta konvergira, a šta ne
Prosek po spinu konvergira. Ukupan iznos ne: on se sve više udaljava od nule kako N raste, u očekivanju za oko 2,7% od N, sa rasipanjem od √N oko te vrednosti. Za igrača koji je odigrao 10.000 spinova po $10 očekuje se da bude u minusu $2.700, plus-minus $1.000. Tekući udeo crvenihopkladaCrvenoProsta šansa na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitaj ceo tekst → odavno se ustalio blizu 48,65%; tekuće stanje se nije ustalilo nigde.
- p10 −$440
- p25 −$280
- medijana −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Zašto intuicija zakazuje
Ljudi očekuju da se prednost brzo pokaže jer 2,70% zvuči kao mnogo, i očekuju da se dugi nizovi „izravnaju“ jer zakon velikih brojevamatematikaZakon velikih brojevaProsek nezavisnih rezultata konvergira ka očekivanoj vrednosti kako broj opita raste.Pročitaj ceo tekst → kaže da proseci konvergiraju. Obe intuicije pogrešno procenjuju razmeru: prednost je mala u odnosu na varijansumatematikaVarijansaMera toga koliko se široko rezultati rasipaju oko očekivane vrednosti. Visoka za jedan broj, niska za proste šanse.Pročitaj ceo tekst → jednog spina (σ = 1 jedinica, a EV = 0,027), pa je potrebno (1/0,027)² ≈ 1.400 spinova da postane vidljiva na nivou jedne sigme. A konvergencija proseka nimalo ne vraća ukupan iznos nazad; ona samo razblažuje ranije oscilacije.
Konvergencija kod drugih opklada
Za opklade na jedan brojopkladaJedan brojJedan jedini broj, isplaćuje 35:1.Pročitaj ceo tekst → (straight up) σ = 5,84, pa isti račun daje (5,84/0,027)² ≈ 47.000 spinova da prednost dostigne jednu sigmu. Igrač koji igra na jedan broj može da igra godinama a da se prednost u njegovim sopstvenim beleškama ne razlikuje od sreće, iako plaća tačno istih 2,70% kao igrač na crveno koji je uoči u roku od nekoliko nedelja.
Šta to znači za testiranje sistema
Svako ko tvrdi da neki sistem radi trebalo bi da to pokaže na 10.000 ili više spinova, sa dokumentovanim pozitivnim prosekom. Na 1.000 spinova pozitivan prosek na prostoj šansi je, pod nultom hipotezom, događaj koji se dešava jednom od pet puta; na 100 spinova to je skoro bacanje novčića. Simulatori na ovom sajtu za sekundu odigraju 2.000 sesija dužine koju izaberete, što je više dokaza od bilo kakvog svedočanstva.
Formula
Pitanja
VerovatnoćamatematikaVerovatnoćaKoliko je neki ishod moguć, od 0 do 1 ili od 0% do 100%. Jedan broj: 1/37 = 2,70%.Pročitaj ceo tekst → da ćete ikada ponovo biti u plusu pada ka nuli kako igrate. Ukupan iznos klizi naniže bez granice.
Ne. Znači da ranije oscilacije postaju sve manji deo sve većeg uzorka.
Za prostu šansu, oko 10.000 pre nego što se prednost jasno vidi. Za jedan broj, oko 50.000.
Matematika iz zabave
Prvo pokušajte sami. Svako rešenje je sklopljeno; otvorite ga kada budete spremni.
Dva prijatelja igraju 20 rundi pravedne igrematematikaPravedna igraIgra u kojoj nijedna strana nema prednost: svaka opklada ima očekivanu vrednost nula.Pročitaj ceo tekst →, bacanje novčića ili crvenoopkladaCrvenoProsta šansa na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitaj ceo tekst → protiv crnogopkladaCrnoProsta šansa na 18 crnih brojeva. Francuski: noir.Pročitaj ceo tekst →, pri čemu se ulozi vraćaju kada padne nulatočakNulaJedini zeleni džep koji ne pokriva nijedna prosta šansa ni opklada na tuce ili kolonu; izvor prednosti kuće. Takođe: jedna nula, 0.Pročitaj ceo tekst →, i vode tekući rezultat. Prebrojte runde tokom kojih je svaki od njih u vođstvu (nerešeno se računa onome ko je vodio neposredno pre toga). Šta je verovatnije: da se vođstvo podeli 10 rundi prema 10 ili da jedan prijatelj vodi svih 20?
Prikaži rešenje
Odgovor Mnogo je verovatnije da jedan prijatelj vodi svih 20 rundi: 35,2%, računajući bilo kog od njih, prema 6,1% za ravnomernu podelu 10 prema 10.
Verovatnoća da je pravedan tekući rezultat izjednačen posle 2k rundi je u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 posle 10 rundi i 0,176 posle 20. Klasičan rezultat, zakon arkus sinusa, kaže da je verovatnoća da jedan određeni prijatelj vodi tačno 2k od 2n rundi u(2k) × u(2n − 2k).
Vođstvo svih 20 rundi: u(20) × u(0) = 0,176 za svakog prijatelja, 35,2% za bilo kog. Ravnomerna podela: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, najmanje verovatna podela od svih.
Dakle, u pravednoj igri vođstvo retko menja stranu. Igrač koji je celo veče u plusu, ili celo veče u minusu, nije video ništa neobično, i to ništa ne govori ni o točku ni o veštini. Epstein (2013) daje isti zakon za duže igre: u polovini slučajeva srećnija strana vodi više od 85% igre.
Za predah
Prosek konvergira. Ukupan iznos jednostavno odlazi.
Izvori
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.